近日，浙江师范大学物理与电子信息工程学院高超教授课题组与华东师范大学单位合作，在莫尔量子物理领域取得重要理论突破。相关成果以“Fractal Spectrum in Twisted Bilayer Optical Lattice”（转角双层光晶格中的分形能谱）为题，于1月20日在线发表于国际顶级物理学期刊 Physical Review Letters 。

侯世达蝴蝶（Hofstadter’s butterfly）是量子物理中最著名的分形能谱之一，其形成依赖于电子在强磁场下的回旋运动导致能带分裂为自相似的递归结构。尽管这一现象已在多种体系中实现，但始终离不开外加磁场或人工规范场。与此同时，近年来兴起的莫尔物理——通过将两套周期性晶格以微小转角叠加产生长程干涉图案——为调控量子物态提供了全新平台，尤以转角双层石墨烯中发现的强关联与超导态为代表。

高超等人提出并证明：在无需任何外加磁场的条件下，仅通过调控冷原子系统中两个光晶格的相对转角，即可在转角双层光晶格中产生纯几何起源的分形能谱，其形态与侯世达蝴蝶高度相似（见图1）。

图 1 扭转光晶格中的分形能谱，左：扭转角在[0, π/2]之间的能谱；右：扭转角在[arc cos(3/5), arc cos (4/5)]之间的部分能谱。

该分形结构源于莫尔超晶格的数论特性——当转角满足特定有理数条件时，系统的精确元胞面积由毕达哥拉斯三元组决定，并自然形成“阿波罗尼奥斯垫片”（Apollonian gasket）这一经典分形几何结构（见图2）。这一发现揭示了莫尔物理与纯数学之间的深刻联系，并提供了一种通过转角“旋钮”高效调控量子分形的新范式。

图 2 左：扭转光晶格示意图；右：阿波罗尼奥斯垫片

该理论方案可在现有冷原子转角双层光晶格平台（2023年发表于 Nature，高超教授参与研究）上进行实验验证，例如通过射频或布拉格谱测量单粒子态密度。审稿人高度评价该工作“会对所有物理学家都有相当广泛的吸引力，因为它处理了一个普适的系统并揭示了一种基本效应”（The study should have a quite general appeal to all physicists, because it treats a quite general system and finds a fundamental effect）。

该工作是高超教授近年来在莫尔冷原子体系中系列研究的重要组成部分。早在2023年，他作为理论合作者与山西大学张靖院士团队合作，首次实现扭转双层光晶格并观测到其中新奇的玻色-爱因斯坦凝聚态（Nature 615, 231）。随后，他与合作者于2024年提出三维莫尔晶体理论（Phys. Rev. Lett. 133, 163401），将莫尔物理拓展至三维空间；2025年又与合作者揭示了扭转光晶格中的非线性激发与分岔行为（Chaos, Solitons & Fractals 195, 116314）。本工作则从全局能谱角度，首次揭示了无磁场条件下由纯几何效应产生的量子分形结构，进一步完善了对莫尔系统的理论认知。

该项研究得到了国家自然科学基金、浙江省自然科学基金等项目的资助。浙江师范大学高超教授与华东师范大学史哲雨研究员为论文共同通讯作者。论文第一作者万旭涛于2023年在浙师大获得物理学硕士学位，师从高超教授，目前正在史哲雨教授课题组攻读博士学位。

高超教授是浙师大物理与电子信息工程学院教授、校双龙特聘教授，长期从事超冷原子量子模拟的理论研究，聚焦莫尔物理、拓扑物态、非平衡动力学等前沿方向。高超教授本科毕业于北京师范大学物理学系，博士毕业于清华大学高等研究院。主持国家自然科学基金青年科学基金（B类）项目、面上项目等，浙江省自然科学基金杰出青年项目等，在 Nature、Physical Review Letters 等国际一流期刊发表系列研究成果。

编辑：武艳